/ NeXT Education Software Sampler 1992 Fall / NeXT Education Software Sampler 1992 Fall.iso / Mathematics / Notebooks / CSOMinesCalculus / Chapter2 / ws1.tex / ws1_ct.html

< prev

next >

MacOS 8.1

Win98

DOS

browse contents

view JSON data

view as text

+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 3c 21 44 4f 43 54 59 50 | 45 20 48 54 4d 4c 20 50 |<!DOCTYP|E HTML P|
|00000010| 55 42 4c 49 43 20 22 2d | 2f 2f 57 33 43 2f 2f 44 |UBLIC "-|//W3C//D|
|00000020| 54 44 20 48 54 4d 4c 20 | 33 2e 32 20 46 69 6e 61 |TD HTML |3.2 Fina|
|00000030| 6c 2f 2f 65 6e 22 3e 0a | 0a 3c 21 2d 2d 43 6f 6e |l//en">.|.<!--Con|
|00000040| 76 65 72 74 65 64 20 77 | 69 74 68 20 4c 61 54 65 |verted w|ith LaTe|
|00000050| 58 32 48 54 4d 4c 20 32 | 30 32 32 20 28 52 65 6c |X2HTML 2|022 (Rel|
|00000060| 65 61 73 65 64 20 4a 61 | 6e 75 61 72 79 20 31 2c |eased Ja|nuary 1,|
|00000070| 20 32 30 32 32 29 20 2d | 2d 3e 0a 3c 48 54 4d 4c | 2022) -|->.<HTML|
|00000080| 20 6c 61 6e 67 3d 22 65 | 6e 22 3e 0a 3c 48 45 41 | lang="e|n">.<HEA|
|00000090| 44 3e 0a 3c 54 49 54 4c | 45 3e 43 6f 6e 74 65 6e |D>.<TITL|E>Conten|
|000000a0| 74 73 20 6f 66 20 77 73 | 31 3c 2f 54 49 54 4c 45 |ts of ws|1</TITLE|
|000000b0| 3e 0a 0a 3c 4d 45 54 41 | 20 48 54 54 50 2d 45 51 |>..<META| HTTP-EQ|
|000000c0| 55 49 56 3d 22 43 6f 6e | 74 65 6e 74 2d 54 79 70 |UIV="Con|tent-Typ|
|000000d0| 65 22 20 43 4f 4e 54 45 | 4e 54 3d 22 74 65 78 74 |e" CONTE|NT="text|
|000000e0| 2f 68 74 6d 6c 3b 20 63 | 68 61 72 73 65 74 3d 75 |/html; c|harset=u|
|000000f0| 74 66 2d 38 22 3e 0a 3c | 4d 45 54 41 20 4e 41 4d |tf-8">.<|META NAM|
|00000100| 45 3d 22 76 69 65 77 70 | 6f 72 74 22 20 43 4f 4e |E="viewp|ort" CON|
|00000110| 54 45 4e 54 3d 22 77 69 | 64 74 68 3d 64 65 76 69 |TENT="wi|dth=devi|
|00000120| 63 65 2d 77 69 64 74 68 | 2c 20 69 6e 69 74 69 61 |ce-width|, initia|
|00000130| 6c 2d 73 63 61 6c 65 3d | 31 2e 30 22 3e 0a 3c 4d |l-scale=|1.0">.<M|
|00000140| 45 54 41 20 4e 41 4d 45 | 3d 22 47 65 6e 65 72 61 |ETA NAME|="Genera|
|00000150| 74 6f 72 22 20 43 4f 4e | 54 45 4e 54 3d 22 4c 61 |tor" CON|TENT="La|
|00000160| 54 65 58 32 48 54 4d 4c | 20 76 32 30 32 32 22 3e |TeX2HTML| v2022">|
|00000170| 0a 0a 3c 4c 49 4e 4b 20 | 52 45 4c 3d 22 53 54 59 |..<LINK |REL="STY|
|00000180| 4c 45 53 48 45 45 54 22 | 20 48 52 45 46 3d 22 77 |LESHEET"| HREF="w|
|00000190| 73 31 2e 63 73 73 22 3e | 0a 0a 3c 2f 48 45 41 44 |s1.css">|..</HEAD|
|000001a0| 3e 0a 20 0a 3c 42 4f 44 | 59 20 62 67 63 6f 6c 6f |>. .<BOD|Y bgcolo|
|000001b0| 72 3d 22 23 66 66 66 66 | 66 66 22 20 74 65 78 74 |r="#ffff|ff" text|
|000001c0| 3d 22 23 30 30 30 30 30 | 30 22 20 6c 69 6e 6b 3d |="#00000|0" link=|
|000001d0| 22 23 39 39 34 34 45 45 | 22 20 76 6c 69 6e 6b 3d |"#9944EE|" vlink=|
|000001e0| 22 23 30 30 30 30 66 66 | 22 20 61 6c 69 6e 6b 3d |"#0000ff|" alink=|
|000001f0| 22 23 30 30 66 66 30 30 | 22 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a |"#00ff00|">..<P>.|
|00000200| 43 68 61 70 74 65 72 20 | 32 3a 20 57 6f 72 6b 73 |Chapter |2: Works|
|00000210| 68 65 65 74 20 31 20 20 | 4a 61 63 6b 20 4b 2e 20 |heet 1  |Jack K. |
|00000220| 43 6f 68 65 6e 20 43 6f | 6c 6f 72 61 64 6f 20 53 |Cohen Co|lorado S|
|00000230| 63 68 6f 6f 6c 20 6f 66 | 20 4d 69 6e 65 73 0a 0a |chool of| Mines..|
|00000240| 3c 50 3e 0a 3c 42 52 3e | 0a 3c 42 52 3e 0a 3c 42 |<P>.<BR>|.<BR>.<B|
|00000250| 52 3e 0a 49 6e 74 72 6f | 64 75 63 74 69 6f 6e 20 |R>.Intro|duction |
|00000260| 74 6f 20 53 6c 6f 70 65 | 73 20 61 6e 64 20 54 61 |to Slope|s and Ta|
|00000270| 6e 67 65 6e 74 73 0a 3c | 42 52 3e 0a 3c 42 52 3e |ngents.<|BR>.<BR>|
|00000280| 0a 3c 42 52 3e 0a 0a 3c | 50 3e 0a 53 75 67 67 65 |.<BR>..<|P>.Sugge|
|00000290| 73 74 65 64 20 50 72 6f | 62 6c 65 6d 73 0a 53 65 |sted Pro|blems.Se|
|000002a0| 63 74 69 6f 6e 20 32 2e | 31 3a 20 31 2c 20 34 2c |ction 2.|1: 1, 4,|
|000002b0| 20 38 2c 20 31 34 2c 20 | 31 38 2c 20 32 30 2c 20 | 8, 14, |18, 20, |
|000002c0| 32 38 2c 20 33 32 2c 20 | 33 34 2e 0a 0a 3c 50 3e |28, 32, |34...<P>|
|000002d0| 0a 3c 42 52 3e 0a 3c 42 | 52 3e 0a 3c 42 52 3e 0a |.<BR>.<B|R>.<BR>.|
|000002e0| 0a 3c 50 3e 0a 0a 3c 4f | 4c 3e 0a 0a 3c 44 49 56 |.<P>..<O|L>..<DIV|
|000002f0| 20 63 6c 61 73 73 3d 22 | 43 45 4e 54 45 52 22 3e | class="|CENTER">|
|00000300| 3c 41 20 49 44 3d 22 31 | 33 22 3e 3c 2f 41 3e 0a |<A ID="1|3"></A>.|
|00000310| 3c 54 41 42 4c 45 3e 0a | 3c 43 41 50 54 49 4f 4e |<TABLE>.|<CAPTION|
|00000320| 20 63 6c 61 73 73 3d 22 | 42 4f 54 54 4f 4d 22 3e | class="|BOTTOM">|
|00000330| 3c 53 54 52 4f 4e 47 3e | 46 69 67 75 72 65 3a 3c |<STRONG>|Figure:<|
|00000340| 2f 53 54 52 4f 4e 47 3e | 0a 55 70 73 20 61 6e 64 |/STRONG>|.Ups and|
|00000350| 20 64 6f 77 6e 73 20 69 | 6e 20 61 20 62 61 6c 6c | downs i|n a ball|
|00000360| 6f 6f 6e 2e 3c 2f 43 41 | 50 54 49 4f 4e 3e 0a 3c |oon.</CA|PTION>.<|
|00000370| 54 52 3e 3c 54 44 3e 3c | 49 4d 47 0a 20 53 54 59 |TR><TD><|IMG. STY|
|00000380| 4c 45 3d 22 68 65 69 67 | 68 74 3a 20 32 38 36 2e |LE="heig|ht: 286.|
|00000390| 37 36 65 78 3b 20 22 20 | 53 52 43 3d 22 69 6d 67 |76ex; " |SRC="img|
|000003a0| 31 2e 70 6e 67 22 0a 20 | 41 4c 54 3d 22 5c 62 65 |1.png". |ALT="\be|
|000003b0| 67 69 6e 7b 66 69 67 75 | 72 65 7d 0a 5c 65 70 73 |gin{figu|re}.\eps|
|000003c0| 66 79 73 69 7a 65 20 31 | 36 30 70 74 0a 5c 63 65 |fysize 1|60pt.\ce|
|000003d0| 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 | 7b 5c 65 70 73 66 66 69 |nterline|{\epsffi|
|000003e0| 6c 65 7b 77 73 31 70 31 | 2e 65 70 73 7d 7d 0a 5c |le{ws1p1|.eps}}.\|
|000003f0| 65 6e 64 7b 66 69 67 75 | 72 65 7d 22 3e 3c 2f 54 |end{figu|re}"></T|
|00000400| 44 3e 3c 2f 54 52 3e 0a | 3c 2f 54 41 42 4c 45 3e |D></TR>.|</TABLE>|
|00000410| 0a 3c 2f 44 49 56 3e 0a | 0a 3c 4c 49 3e 46 69 67 |.</DIV>.|.<LI>Fig|
|00000420| 75 72 65 20 31 20 73 68 | 6f 77 73 20 74 68 65 20 |ure 1 sh|ows the |
|00000430| 74 69 6d 65 20 68 69 73 | 74 6f 72 79 20 3c 49 3e |time his|tory <I>|
|00000440| 79 3c 2f 49 3e 20 3d 20 | 3c 49 3e 48 3c 2f 49 3e |y</I> = |<I>H</I>|
|00000450| 28 3c 49 3e 74 3c 2f 49 | 3e 29 20 6f 66 20 61 20 |(<I>t</I|>) of a |
|00000460| 62 61 6c 6c 6f 6f 6e 20 | 66 6c 69 67 68 74 20 66 |balloon |flight f|
|00000470| 6f 72 20 3c 21 2d 2d 20 | 4d 41 54 48 0a 20 24 30 |or <!-- |MATH. $0|
|00000480| 20 5c 6c 65 71 20 74 20 | 5c 6c 65 71 20 37 35 24 | \leq t |\leq 75$|
|00000490| 0a 20 2d 2d 3e 0a 30 26 | 23 38 38 30 34 3b 3c 49 |. -->.0&|#8804;<I|
|000004a0| 3e 74 3c 2f 49 3e 26 23 | 38 38 30 34 3b 37 35 2e |>t</I>&#|8804;75.|
|000004b0| 20 20 4e 6f 74 65 20 74 | 68 61 74 20 74 68 65 20 |  Note t|hat the |
|000004c0| 63 75 72 76 65 20 69 73 | 20 6e 6f 74 20 6e 65 63 |curve is| not nec|
|000004d0| 65 73 73 61 72 69 6c 79 | 20 72 65 6c 61 74 65 64 |essarily| related|
|000004e0| 20 74 6f 20 74 68 65 20 | 73 70 61 74 69 61 6c 20 | to the |spatial |
|000004f0| 70 61 74 68 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 62 61 6c 6c |path of |the ball|
|00000500| 6f 6f 6e 2c 20 73 69 6e | 63 65 20 74 68 65 20 68 |oon, sin|ce the h|
|00000510| 6f 72 69 7a 6f 6e 74 61 | 6c 20 61 78 69 73 20 69 |orizonta|l axis i|
|00000520| 73 20 74 69 6d 65 20 3c | 49 3e 74 3c 2f 49 3e 2c |s time <|I>t</I>,|
|00000530| 20 6e 6f 74 20 68 6f 72 | 69 7a 6f 6e 74 61 6c 20 | not hor|izontal |
|00000540| 64 69 73 74 61 6e 63 65 | 20 3c 49 3e 78 3c 2f 49 |distance| <I>x</I|
|00000550| 3e 2e 20 0a 09 0a 3c 4f | 4c 3e 0a 3c 4c 49 3e 54 |>. ...<O|L>.<LI>T|
|00000560| 68 65 72 65 20 61 72 65 | 20 74 68 72 65 65 20 6c |here are| three l|
|00000570| 6f 63 61 6c 20 6d 69 6e | 69 6d 75 6d 20 70 6f 69 |ocal min|imum poi|
|00000580| 6e 74 73 20 6f 6e 20 74 | 68 65 20 67 72 61 70 68 |nts on t|he graph|
|00000590| 20 28 6f 6e 65 20 69 73 | 20 61 74 20 74 68 65 20 | (one is| at the |
|000005a0| 73 74 61 72 74 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 66 6c 69 |start of| the fli|
|000005b0| 67 68 74 29 2c 20 6c 61 | 62 65 6c 20 74 68 65 6d |ght), la|bel them|
|000005c0| 20 3c 49 3e 61 3c 2f 49 | 3e 2c 20 3c 49 3e 62 3c | <I>a</I|>, <I>b<|
|000005d0| 2f 49 3e 20 61 6e 64 20 | 3c 49 3e 63 3c 2f 49 3e |/I> and |<I>c</I>|
|000005e0| 20 61 6e 64 20 65 73 74 | 69 6d 61 74 65 20 74 68 | and est|imate th|
|000005f0| 65 73 65 20 76 61 6c 75 | 65 73 20 61 73 20 77 65 |ese valu|es as we|
|00000600| 6c 6c 20 61 73 20 3c 21 | 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a |ll as <!|-- MATH.|
|00000610| 20 24 48 28 61 29 2c 20 | 48 28 62 29 2c 20 48 28 | $H(a), |H(b), H(|
|00000620| 63 29 24 0a 20 2d 2d 3e | 0a 3c 49 3e 48 3c 2f 49 |c)$. -->|.<I>H</I|
|00000630| 3e 28 3c 49 3e 61 3c 2f | 49 3e 29 2c 20 3c 49 3e |>(<I>a</|I>), <I>|
|00000640| 48 3c 2f 49 3e 28 3c 49 | 3e 62 3c 2f 49 3e 29 2c |H</I>(<I|>b</I>),|
|00000650| 20 3c 49 3e 48 3c 2f 49 | 3e 28 3c 49 3e 63 3c 2f | <I>H</I|>(<I>c</|
|00000660| 49 3e 29 2e 20 20 44 6f | 20 74 68 65 20 73 61 6d |I>).  Do| the sam|
|00000670| 65 20 66 6f 72 20 74 68 | 65 20 74 68 72 65 65 20 |e for th|e three |
|00000680| 6c 6f 63 61 6c 20 6d 61 | 78 69 6d 75 6d 20 70 6f |local ma|ximum po|
|00000690| 69 6e 74 73 2c 20 3c 49 | 3e 41 3c 2f 49 3e 2c 20 |ints, <I|>A</I>, |
|000006a0| 3c 49 3e 42 3c 2f 49 3e | 2c 20 3c 49 3e 43 3c 2f |<I>B</I>|, <I>C</|
|000006b0| 49 3e 2e 0a 3c 2f 4c 49 | 3e 0a 3c 4c 49 3e 47 69 |I>..</LI|>.<LI>Gi|
|000006c0| 76 65 20 74 68 65 20 62 | 65 73 74 20 20 64 65 66 |ve the b|est  def|
|000006d0| 69 6e 69 74 69 6f 6e 20 | 79 6f 75 20 63 61 6e 20 |inition |you can |
|000006e0| 66 6f 72 20 74 68 65 20 | 63 6f 6e 63 65 70 74 20 |for the |concept |
|000006f0| 6c 6f 63 61 6c 20 6d 69 | 6e 69 6d 75 6d 20 70 6f |local mi|nimum po|
|00000700| 69 6e 74 20 69 6e 74 72 | 6f 64 75 63 65 64 20 73 |int intr|oduced s|
|00000710| 6f 20 63 61 73 75 61 6c | 6c 79 20 69 6e 20 74 68 |o casual|ly in th|
|00000720| 65 20 70 72 65 76 69 6f | 75 73 20 71 75 65 73 74 |e previo|us quest|
|00000730| 69 6f 6e 2e 0a 3c 2f 4c | 49 3e 0a 3c 4c 49 3e 53 |ion..</L|I>.<LI>S|
|00000740| 69 6e 63 65 20 6f 75 72 | 20 63 75 72 76 65 20 69 |ince our| curve i|
|00000750| 73 20 73 6d 6f 6f 74 68 | 2c 20 77 65 20 63 61 6e |s smooth|, we can|
|00000760| 20 69 6e 74 75 69 74 69 | 76 65 6c 79 20 61 73 73 | intuiti|vely ass|
|00000770| 69 67 6e 20 61 20 73 6c | 6f 70 65 20 61 74 20 65 |ign a sl|ope at e|
|00000780| 61 63 68 20 70 6f 69 6e | 74 20 6f 66 20 69 74 26 |ach poin|t of it&|
|00000790| 6d 64 61 73 68 3b 65 78 | 63 65 70 74 20 66 6f 72 |mdash;ex|cept for|
|000007a0| 20 6d 61 79 62 65 20 74 | 68 65 20 65 6e 64 70 6f | maybe t|he endpo|
|000007b0| 69 6e 74 73 2e 20 20 55 | 73 69 6e 67 20 74 68 65 |ints.  U|sing the|
|000007c0| 20 6c 65 74 74 65 72 73 | 20 3c 21 2d 2d 20 4d 41 | letters| <!-- MA|
|000007d0| 54 48 0a 20 24 61 2c 20 | 62 2c 20 63 2c 20 41 2c |TH. $a, |b, c, A,|
|000007e0| 20 42 2c 20 43 24 0a 20 | 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e 61 | B, C$. |-->.<I>a|
|000007f0| 3c 2f 49 3e 2c 20 3c 49 | 3e 62 3c 2f 49 3e 2c 20 |</I>, <I|>b</I>, |
|00000800| 3c 49 3e 63 3c 2f 49 3e | 2c 20 3c 49 3e 41 3c 2f |<I>c</I>|, <I>A</|
|00000810| 49 3e 2c 20 3c 49 3e 42 | 3c 2f 49 3e 2c 20 3c 49 |I>, <I>B|</I>, <I|
|00000820| 3e 43 3c 2f 49 3e 20 69 | 6e 74 72 6f 64 75 63 65 |>C</I> i|ntroduce|
|00000830| 64 20 61 62 6f 76 65 2c | 20 67 69 76 65 20 74 68 |d above,| give th|
|00000840| 65 20 69 6e 74 65 72 76 | 61 6c 73 20 77 68 65 72 |e interv|als wher|
|00000850| 65 20 74 68 65 20 73 6c | 6f 70 65 20 69 73 20 70 |e the sl|ope is p|
|00000860| 6f 73 69 74 69 76 65 2e | 20 20 41 72 65 20 74 68 |ositive.|  Are th|
|00000870| 65 73 65 20 74 68 65 20 | 73 61 6d 65 20 61 73 20 |ese the |same as |
|00000880| 74 68 65 20 69 6e 74 65 | 72 76 61 6c 73 20 77 68 |the inte|rvals wh|
|00000890| 65 72 65 20 74 68 65 20 | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |ere the |function|
|000008a0| 20 69 73 20 69 6e 63 72 | 65 61 73 69 6e 67 3f 0a | is incr|easing?.|
|000008b0| 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 4c | 49 3e 43 6f 6e 73 69 64 |</LI>.<L|I>Consid|
|000008c0| 65 72 20 74 68 65 20 69 | 6e 74 65 72 69 6f 72 20 |er the i|nterior |
|000008d0| 65 78 74 72 65 6d 61 20 | 28 69 2e 65 2e 20 6d 61 |extrema |(i.e. ma|
|000008e0| 78 69 6d 75 6d 20 70 6f | 69 6e 74 73 20 61 6e 64 |ximum po|ints and|
|000008f0| 20 6d 69 6e 69 6d 75 6d | 20 70 6f 69 6e 74 73 29 | minimum| points)|
|00000900| 2e 20 20 57 68 61 74 20 | 69 73 20 74 68 65 20 76 |.  What |is the v|
|00000910| 61 6c 75 65 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 73 6c 6f 70 |alue of |the slop|
|00000920| 65 20 66 75 6e 63 74 69 | 6f 6e 20 61 74 20 74 68 |e functi|on at th|
|00000930| 65 73 65 20 70 6f 69 6e | 74 73 3f 0a 3c 2f 4c 49 |ese poin|ts?.</LI|
|00000940| 3e 0a 3c 4c 49 3e 57 65 | 20 77 61 6e 74 20 61 20 |>.<LI>We| want a |
|00000950| 63 6f 6e 64 69 74 69 6f | 6e 20 74 68 61 74 20 67 |conditio|n that g|
|00000960| 75 61 72 61 6e 74 65 65 | 73 20 74 68 61 74 20 61 |uarantee|s that a|
|00000970| 20 70 6f 69 6e 74 20 3c | 49 3e 70 3c 2f 49 3e 20 | point <|I>p</I> |
|00000980| 69 6e 20 74 68 65 20 69 | 6e 74 65 72 69 6f 72 20 |in the i|nterior |
|00000990| 6f 66 20 74 68 65 20 64 | 6f 6d 61 69 6e 20 6f 66 |of the d|omain of|
|000009a0| 20 61 20 73 6d 6f 6f 74 | 68 20 66 75 6e 63 74 69 | a smoot|h functi|
|000009b0| 6f 6e 20 67 69 76 65 73 | 20 61 20 6d 61 78 69 6d |on gives| a maxim|
|000009c0| 75 6d 20 76 61 6c 75 65 | 20 3c 49 3e 48 3c 2f 49 |um value| <I>H</I|
|000009d0| 3e 28 3c 49 3e 70 3c 2f | 49 3e 29 2e 20 20 53 74 |>(<I>p</|I>).  St|
|000009e0| 61 74 65 20 73 75 63 68 | 20 61 20 63 6f 6e 64 69 |ate such| a condi|
|000009f0| 74 69 6f 6e 20 69 6e 20 | 74 65 72 6d 73 20 6f 66 |tion in |terms of|
|00000a00| 20 74 68 65 20 62 65 68 | 61 76 69 6f 72 20 6f 66 | the beh|avior of|
|00000a10| 20 74 68 65 20 73 6c 6f | 70 65 20 6e 65 61 72 20 | the slo|pe near |
|00000a20| 3c 49 3e 70 3c 2f 49 3e | 20 28 69 2e 65 2e 20 6a |<I>p</I>| (i.e. j|
|00000a30| 75 73 74 20 74 6f 20 74 | 68 65 20 6c 65 66 74 20 |ust to t|he left |
|00000a40| 61 6e 64 20 72 69 67 68 | 74 20 6f 66 20 3c 49 3e |and righ|t of <I>|
|00000a50| 70 3c 2f 49 3e 2c 20 6e | 6f 74 20 61 74 20 3c 49 |p</I>, n|ot at <I|
|00000a60| 3e 70 3c 2f 49 3e 20 69 | 74 73 65 6c 66 29 2e 20 |>p</I> i|tself). |
|00000a70| 20 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a | 3c 4c 49 3e 57 68 65 6e | .</LI>.|<LI>When|
|00000a80| 20 69 73 20 20 3c 49 3e | 48 3c 2f 49 3e 28 3c 49 | is  <I>|H</I>(<I|
|00000a90| 3e 74 3c 2f 49 3e 29 20 | 74 68 65 20 62 69 67 67 |>t</I>) |the bigg|
|00000aa0| 65 73 74 3f 20 20 28 54 | 68 65 20 62 69 67 67 65 |est?  (T|he bigge|
|00000ab0| 73 74 20 76 61 6c 75 65 | 20 6f 66 20 3c 49 3e 48 |st value| of <I>H|
|00000ac0| 3c 2f 49 3e 28 3c 49 3e | 74 3c 2f 49 3e 29 20 69 |</I>(<I>|t</I>) i|
|00000ad0| 73 20 63 61 6c 6c 65 64 | 20 74 68 65 20 67 6c 6f |s called| the glo|
|00000ae0| 62 61 6c 20 6d 61 78 69 | 6d 75 6d 20 6f 72 20 73 |bal maxi|mum or s|
|00000af0| 6f 6d 65 74 69 6d 65 73 | 20 74 68 65 20 61 62 73 |ometimes| the abs|
|00000b00| 6f 6c 75 74 65 20 6d 61 | 78 69 6d 75 6d 29 2e 20 |olute ma|ximum). |
|00000b10| 20 20 53 69 6d 69 6c 61 | 72 6c 79 2c 20 77 68 65 |  Simila|rly, whe|
|00000b20| 6e 20 64 6f 65 73 20 3c | 49 3e 48 3c 2f 49 3e 28 |n does <|I>H</I>(|
|00000b30| 3c 49 3e 74 3c 2f 49 3e | 29 20 61 63 68 69 65 76 |<I>t</I>|) achiev|
|00000b40| 65 20 69 74 73 20 74 68 | 65 20 67 6c 6f 62 61 6c |e its th|e global|
|00000b50| 20 6d 69 6e 69 6d 75 6d | 3f 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a | minimum|?.</LI>.|
|00000b60| 3c 4c 49 3e 53 69 6e 63 | 65 20 74 68 65 20 69 6e |<LI>Sinc|e the in|
|00000b70| 64 65 70 65 6e 64 65 6e | 74 20 76 61 72 69 61 62 |dependen|t variab|
|00000b80| 6c 65 20 69 73 20 74 69 | 6d 65 20 3c 49 3e 74 3c |le is ti|me <I>t<|
|00000b90| 2f 49 3e 2c 20 74 68 65 | 20 73 6c 6f 70 65 20 66 |/I>, the| slope f|
|00000ba0| 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 | 68 65 72 65 20 69 73 20 |unction |here is |
|00000bb0| 61 63 74 75 61 6c 6c 79 | 20 76 65 6c 6f 63 69 74 |actually| velocit|
|00000bc0| 79 20 28 72 69 67 68 74 | 3f 29 2e 20 20 20 57 68 |y (right|?).   Wh|
|00000bd0| 65 6e 20 69 73 20 74 68 | 65 20 76 65 6c 6f 63 69 |en is th|e veloci|
|00000be0| 74 79 20 30 3f 20 20 57 | 68 65 6e 20 69 73 20 74 |ty 0?  W|hen is t|
|00000bf0| 68 65 20 76 65 6c 6f 63 | 69 74 79 20 28 6c 6f 63 |he veloc|ity (loc|
|00000c00| 61 6c 6c 79 20 61 6e 64 | 20 67 6c 6f 62 61 6c 6c |ally and| globall|
|00000c10| 79 29 20 74 68 65 20 67 | 72 65 61 74 65 73 74 3f |y) the g|reatest?|
|00000c20| 20 20 20 54 68 65 20 6c | 65 61 73 74 3f 20 20 45 |   The l|east?  E|
|00000c30| 78 70 6c 61 69 6e 20 79 | 6f 75 72 20 72 65 61 73 |xplain y|our reas|
|00000c40| 6f 6e 69 6e 67 20 61 6e | 64 20 67 69 76 65 20 61 |oning an|d give a|
|00000c50| 70 70 72 6f 78 69 6d 61 | 74 65 20 6e 75 6d 65 72 |pproxima|te numer|
|00000c60| 69 63 61 6c 20 76 61 6c | 75 65 73 20 66 72 6f 6d |ical val|ues from|
|00000c70| 20 46 69 67 75 72 65 20 | 31 2e 0a 09 0a 3c 2f 4c | Figure |1....</L|
|00000c80| 49 3e 0a 3c 2f 4f 4c 3e | 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c 2f |I>.</OL>|..<P>.</|
|00000c90| 4c 49 3e 0a 3c 4c 49 3e | 20 28 32 2e 31 2e 33 36 |LI>.<LI>| (2.1.36|
|00000ca0| 29 20 50 72 6f 76 65 20 | 74 68 61 74 20 74 68 65 |) Prove |that the|
|00000cb0| 20 6c 69 6e 65 20 74 61 | 6e 67 65 6e 74 20 74 6f | line ta|ngent to|
|00000cc0| 20 74 68 65 20 70 61 72 | 61 62 6f 6c 61 20 3c 49 | the par|abola <I|
|00000cd0| 3e 79 3c 2f 49 3e 20 3d | 20 3c 49 3e 78 3c 2f 49 |>y</I> =| <I>x</I|
|00000ce0| 3e 3c 53 55 50 3e 32 3c | 2f 53 55 50 3e 20 61 74 |><SUP>2<|/SUP> at|
|00000cf0| 20 74 68 65 20 70 6f 69 | 6e 74 20 3c 21 2d 2d 20 | the poi|nt <!-- |
|00000d00| 4d 41 54 48 0a 20 24 28 | 78 5f 30 2c 20 79 5f 30 |MATH. $(|x_0, y_0|
|00000d10| 29 24 0a 20 2d 2d 3e 0a | 28 3c 49 3e 78 3c 2f 49 |)$. -->.|(<I>x</I|
|00000d20| 3e 3c 53 55 42 3e 30 3c | 2f 53 55 42 3e 2c 20 3c |><SUB>0<|/SUB>, <|
|00000d30| 49 3e 79 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 42 3e 30 3c 2f 53 |I>y</I><|SUB>0</S|
|00000d40| 55 42 3e 29 20 69 6e 74 | 65 72 73 65 63 74 73 20 |UB>) int|ersects |
|00000d50| 74 68 65 20 3c 49 3e 78 | 3c 2f 49 3e 2d 61 78 69 |the <I>x|</I>-axi|
|00000d60| 73 20 61 74 20 74 68 65 | 20 70 6f 69 6e 74 20 3c |s at the| point <|
|00000d70| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 24 28 78 5f 30 2f |!-- MATH|. $(x_0/|
|00000d80| 32 2c 20 30 29 24 0a 20 | 2d 2d 3e 0a 28 3c 49 3e |2, 0)$. |-->.(<I>|
|00000d90| 78 3c 2f 49 3e 3c 53 55 | 42 3e 30 3c 2f 53 55 42 |x</I><SU|B>0</SUB|
|00000da0| 3e 2f 32 2c 20 30 29 2e | 20 20 48 69 6e 74 73 3a |>/2, 0).|  Hints:|
|00000db0| 20 20 44 72 61 77 20 61 | 20 70 69 63 74 75 72 65 |  Draw a| picture|
|00000dc0| 2e 20 20 4e 6f 2c 20 6e | 6f 74 20 61 20 66 65 77 |.  No, n|ot a few|
|00000dd0| 20 73 63 72 61 67 67 6c | 79 20 6c 69 6e 65 73 20 | scraggl|y lines |
|00000de0| 61 6e 64 20 63 75 72 76 | 65 73 26 6d 64 61 73 68 |and curv|es&mdash|
|00000df0| 3b 64 72 61 77 20 61 20 | 67 6f 6f 64 20 70 69 63 |;draw a |good pic|
|00000e00| 74 75 72 65 21 20 20 4c | 61 62 65 6c 20 79 6f 75 |ture!  L|abel you|
|00000e10| 72 20 70 69 63 74 75 72 | 65 2e 20 20 54 65 6d 70 |r pictur|e.  Temp|
|00000e20| 6f 72 61 72 69 6c 79 20 | 75 73 65 20 61 20 64 69 |orarily |use a di|
|00000e30| 73 74 69 6e 63 74 20 6c | 61 62 65 6c 2c 20 73 61 |stinct l|abel, sa|
|00000e40| 79 20 28 3c 49 3e 78 3c | 2f 49 3e 3c 53 55 42 3e |y (<I>x<|/I><SUB>|
|00000e50| 31 3c 2f 53 55 42 3e 2c | 20 30 29 2c 20 66 6f 72 |1</SUB>,| 0), for|
|00000e60| 20 74 68 65 20 74 61 72 | 67 65 74 20 70 6f 69 6e | the tar|get poin|
|00000e70| 74 20 6f 6e 20 74 68 65 | 20 3c 49 3e 78 3c 2f 49 |t on the| <I>x</I|
|00000e80| 3e 2d 61 78 69 73 2e 20 | 20 4e 6f 77 20 73 68 6f |>-axis. | Now sho|
|00000e90| 77 20 74 68 61 74 20 3c | 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 |w that <|!-- MATH|
|00000ea0| 0a 20 24 78 5f 31 20 3d | 20 78 5f 30 2f 32 24 0a |. $x_1 =| x_0/2$.|
|00000eb0| 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e | 78 3c 2f 49 3e 3c 53 55 | -->.<I>|x</I><SU|
|00000ec0| 42 3e 31 3c 2f 53 55 42 | 3e 20 3d 20 3c 49 3e 78 |B>1</SUB|> = <I>x|
|00000ed0| 3c 2f 49 3e 3c 53 55 42 | 3e 30 3c 2f 53 55 42 3e |</I><SUB|>0</SUB>|
|00000ee0| 2f 32 20 62 79 20 63 6f | 6e 73 74 72 75 63 74 69 |/2 by co|nstructi|
|00000ef0| 6e 67 20 61 20 73 75 69 | 74 61 62 6c 65 20 74 61 |ng a sui|table ta|
|00000f00| 6e 67 65 6e 74 20 6c 69 | 6e 65 2e 0a 0a 3c 50 3e |ngent li|ne...<P>|
|00000f10| 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c | 4c 49 3e 28 32 2e 31 2e |.</LI>.<|LI>(2.1.|
|00000f20| 34 32 29 20 57 72 69 74 | 65 20 65 71 75 61 74 69 |42) Writ|e equati|
|00000f30| 6f 6e 73 20 66 6f 72 20 | 74 68 65 20 74 77 6f 20 |ons for |the two |
|00000f40| 73 74 72 61 69 67 68 74 | 20 6c 69 6e 65 73 20 74 |straight| lines t|
|00000f50| 68 72 6f 75 67 68 20 74 | 68 65 20 70 6f 69 6e 74 |hrough t|he point|
|00000f60| 20 28 32 2c 20 35 29 20 | 74 68 61 74 20 61 72 65 | (2, 5) |that are|
|00000f70| 20 74 61 6e 67 65 6e 74 | 20 74 6f 20 74 68 65 20 | tangent| to the |
|00000f80| 70 61 72 61 62 6f 6c 61 | 20 3c 21 2d 2d 20 4d 41 |parabola| <!-- MA|
|00000f90| 54 48 0a 20 24 79 20 3d | 20 34 78 20 2d 20 78 5e |TH. $y =| 4x - x^|
|00000fa0| 32 24 0a 20 2d 2d 3e 0a | 3c 49 3e 79 3c 2f 49 3e |2$. -->.|<I>y</I>|
|00000fb0| 20 3d 20 34 3c 49 3e 78 | 3c 2f 49 3e 20 2d 20 3c | = 4<I>x|</I> - <|
|00000fc0| 49 3e 78 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 50 3e 32 3c 2f 53 |I>x</I><|SUP>2</S|
|00000fd0| 55 50 3e 2e 20 20 20 44 | 6f 65 73 20 69 74 20 6d |UP>.   D|oes it m|
|00000fe0| 61 6b 65 20 73 65 6e 73 | 65 20 74 68 61 74 20 74 |ake sens|e that t|
|00000ff0| 68 65 72 65 20 61 72 65 | 20 74 77 6f 20 74 61 6e |here are| two tan|
|00001000| 67 65 6e 74 73 20 74 68 | 72 6f 75 67 68 20 74 68 |gents th|rough th|
|00001010| 65 20 70 6f 69 6e 74 20 | 28 32 2c 20 35 29 3f 20 |e point |(2, 5)? |
|00001020| 20 41 64 76 69 63 65 3a | 20 20 44 6f 6e 27 74 20 | Advice:|  Don't |
|00001030| 70 61 6e 69 63 2e 20 20 | 44 72 61 77 20 61 20 70 |panic.  |Draw a p|
|00001040| 69 63 74 75 72 65 20 28 | 75 73 65 20 50 6c 6f 74 |icture (|use Plot|
|00001050| 20 69 66 20 79 6f 75 20 | 6e 65 65 64 20 69 74 29 | if you |need it)|
|00001060| 2e 20 20 20 4c 61 62 65 | 6c 20 61 20 67 65 6e 65 |.   Labe|l a gene|
|00001070| 72 61 6c 20 70 6f 69 6e | 74 20 6f 6e 20 74 68 65 |ral poin|t on the|
|00001080| 20 70 61 72 61 62 6f 6c | 61 20 61 73 20 3c 21 2d | parabol|a as <!-|
|00001090| 2d 20 4d 41 54 48 0a 20 | 24 28 61 2c 20 79 28 61 |- MATH. |$(a, y(a|
|000010a0| 29 29 20 3d 20 28 61 2c | 20 34 61 20 2d 20 61 5e |)) = (a,| 4a - a^|
|000010b0| 32 29 24 0a 20 2d 2d 3e | 0a 28 3c 49 3e 61 3c 2f |2)$. -->|.(<I>a</|
|000010c0| 49 3e 2c 20 3c 49 3e 79 | 3c 2f 49 3e 28 3c 49 3e |I>, <I>y|</I>(<I>|
|000010d0| 61 3c 2f 49 3e 29 29 20 | 3d 20 28 3c 49 3e 61 3c |a</I>)) |= (<I>a<|
|000010e0| 2f 49 3e 2c 20 34 3c 49 | 3e 61 3c 2f 49 3e 20 2d |/I>, 4<I|>a</I> -|
|000010f0| 20 3c 49 3e 61 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 50 3e 32 3c | <I>a</I|><SUP>2<|
|00001100| 2f 53 55 50 3e 29 2e 20 | 20 59 6f 75 20 63 61 6e |/SUP>). | You can|
|00001110| 20 66 69 67 75 72 65 20 | 6f 75 74 20 74 68 65 20 | figure |out the |
|00001120| 73 6c 6f 70 65 20 61 74 | 20 74 68 65 20 67 65 6e |slope at| the gen|
|00001130| 65 72 61 6c 20 70 6f 69 | 6e 74 20 3c 49 3e 61 3c |eral poi|nt <I>a<|
|00001140| 2f 49 3e 20 61 6e 64 20 | 68 65 6e 63 65 20 77 72 |/I> and |hence wr|
|00001150| 69 74 65 20 61 6e 20 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 20 |ite an e|quation |
|00001160| 66 6f 72 20 74 68 65 20 | 74 61 6e 67 65 6e 74 20 |for the |tangent |
|00001170| 6c 69 6e 65 20 69 6e 20 | 70 6f 69 6e 74 20 73 6c |line in |point sl|
|00001180| 6f 70 65 20 66 6f 72 6d | 20 28 77 69 74 68 20 3c |ope form| (with <|
|00001190| 49 3e 61 3c 2f 49 3e 27 | 73 20 69 6e 20 69 74 20 |I>a</I>'|s in it |
|000011a0| 61 6c 6c 20 6f 76 65 72 | 20 74 68 65 20 70 6c 61 |all over| the pla|
|000011b0| 63 65 29 2e 20 20 54 68 | 65 72 65 20 69 73 20 6f |ce).  Th|ere is o|
|000011c0| 6e 65 20 66 61 63 74 20 | 79 6f 75 20 68 61 76 65 |ne fact |you have|
|000011d0| 6e 27 74 20 75 73 65 64 | 26 6d 64 61 73 68 3b 75 |n't used|&mdash;u|
|000011e0| 73 65 20 69 74 20 74 6f | 20 67 65 74 20 61 6e 20 |se it to| get an |
|000011f0| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 20 66 6f 72 20 3c 49 3e |equation| for <I>|
|00001200| 61 3c 2f 49 3e 2e 20 20 | 54 68 65 6e 20 73 6f 6c |a</I>.  |Then sol|
|00001210| 76 65 20 66 6f 72 20 3c | 49 3e 61 3c 2f 49 3e 20 |ve for <|I>a</I> |
|00001220| 61 6e 64 20 0a 20 70 6c | 75 67 20 62 61 63 6b 20 |and . pl|ug back |
|00001230| 69 6e 74 6f 20 74 68 65 | 20 74 61 6e 67 65 6e 74 |into the| tangent|
|00001240| 20 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a | equatio|n...<P>.|
|00001250| 46 6f 72 20 74 68 65 20 | 72 65 61 6c 6c 79 20 62 |For the |really b|
|00001260| 72 61 76 65 3a 20 72 65 | 70 6c 61 63 65 20 74 68 |rave: re|place th|
|00001270| 65 20 70 6f 69 6e 74 20 | 28 32 2c 20 35 29 20 62 |e point |(2, 5) b|
|00001280| 79 20 61 20 67 65 6e 65 | 72 61 6c 20 70 6f 69 6e |y a gene|ral poin|
|00001290| 74 20 3c 21 2d 2d 20 4d | 41 54 48 0a 20 24 28 78 |t <!-- M|ATH. $(x|
|000012a0| 5f 30 2c 20 79 5f 30 29 | 24 0a 20 2d 2d 3e 0a 28 |_0, y_0)|$. -->.(|
|000012b0| 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e | 3c 53 55 42 3e 30 3c 2f |<I>x</I>|<SUB>0</|
|000012c0| 53 55 42 3e 2c 20 3c 49 | 3e 79 3c 2f 49 3e 3c 53 |SUB>, <I|>y</I><S|
|000012d0| 55 42 3e 30 3c 2f 53 55 | 42 3e 29 2e 0a 0a 3c 50 |UB>0</SU|B>)...<P|
|000012e0| 3e 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a | 3c 4c 49 3e 28 32 2e 31 |>.</LI>.|<LI>(2.1|
|000012f0| 2e 34 33 29 20 46 69 6e | 64 20 74 68 65 20 70 6f |.43) Fin|d the po|
|00001300| 69 6e 74 20 6f 6e 20 74 | 68 65 20 70 61 72 61 62 |int on t|he parab|
|00001310| 6f 6c 61 20 3c 49 3e 79 | 3c 2f 49 3e 20 3d 20 3c |ola <I>y|</I> = <|
|00001320| 49 3e 78 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 50 3e 32 3c 2f 53 |I>x</I><|SUP>2</S|
|00001330| 55 50 3e 20 74 68 61 74 | 20 69 73 20 63 6c 6f 73 |UP> that| is clos|
|00001340| 65 73 74 20 74 6f 20 74 | 68 65 20 70 6f 69 6e 74 |est to t|he point|
|00001350| 20 28 33 2c 20 30 29 20 | 62 79 20 75 73 69 6e 67 | (3, 0) |by using|
|00001360| 20 74 68 65 20 69 6e 73 | 69 67 68 74 20 74 68 61 | the ins|ight tha|
|00001370| 74 20 66 6f 72 20 74 68 | 69 73 20 70 6f 69 6e 74 |t for th|is point|
|00001380| 2c 20 74 68 65 20 6c 69 | 6e 65 20 66 72 6f 6d 20 |, the li|ne from |
|00001390| 28 33 2c 20 20 30 29 20 | 74 6f 20 74 68 65 20 70 |(3,  0) |to the p|
|000013a0| 61 72 61 62 6f 6c 61 20 | 77 69 6c 6c 20 62 65 20 |arabola |will be |
|000013b0| 6e 6f 72 6d 61 6c 20 74 | 6f 20 74 68 65 20 70 61 |normal t|o the pa|
|000013c0| 72 61 62 6f 6c 61 2e 20 | 20 4e 6f 74 65 3a 20 20 |rabola. | Note:  |
|000013d0| 79 6f 75 20 68 61 76 65 | 20 74 6f 20 73 6f 6c 76 |you have| to solv|
|000013e0| 65 20 61 20 63 75 62 69 | 63 20 65 71 75 61 74 69 |e a cubi|c equati|
|000013f0| 6f 6e 20 74 6f 20 66 69 | 6e 64 20 74 68 65 20 63 |on to fi|nd the c|
|00001400| 6c 6f 73 65 73 74 20 70 | 6f 69 6e 74 26 6d 64 61 |losest p|oint&mda|
|00001410| 73 68 3b 68 65 72 65 2c | 20 79 6f 75 20 63 61 6e |sh;here,| you can|
|00001420| 20 70 72 6f 62 61 62 6c | 79 20 67 75 65 73 73 20 | probabl|y guess |
|00001430| 74 68 65 20 72 65 6c 65 | 76 61 6e 74 20 72 6f 6f |the rele|vant roo|
|00001440| 74 2c 20 62 75 74 20 69 | 66 20 6e 6f 74 20 75 73 |t, but i|f not us|
|00001450| 65 20 2e 0a 0a 3c 50 3e | 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c |e ...<P>|.</LI>.<|
|00001460| 4c 49 3e 46 6f 6c 6c 6f | 77 69 6e 67 20 75 70 20 |LI>Follo|wing up |
|00001470| 6f 6e 20 70 72 65 76 69 | 6f 75 73 20 70 72 6f 62 |on previ|ous prob|
|00001480| 6c 65 6d 73 3a 0a 09 0a | 3c 4f 4c 3e 0a 3c 4c 49 |lems:...|<OL>.<LI|
|00001490| 3e 41 72 65 20 74 68 65 | 72 65 20 61 6c 77 61 79 |>Are the|re alway|
|000014a0| 73 20 65 78 61 63 74 6c | 79 20 74 77 6f 20 74 61 |s exactl|y two ta|
|000014b0| 6e 67 65 6e 74 20 6c 69 | 6e 65 73 20 66 72 6f 6d |ngent li|nes from|
|000014c0| 20 61 20 67 65 6e 65 72 | 61 6c 20 70 6f 69 6e 74 | a gener|al point|
|000014d0| 20 3c 21 2d 2d 20 4d 41 | 54 48 0a 20 24 28 78 5f | <!-- MA|TH. $(x_|
|000014e0| 30 2c 20 79 5f 30 29 24 | 0a 20 2d 2d 3e 0a 28 3c |0, y_0)$|. -->.(<|
|000014f0| 49 3e 78 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 42 3e 30 3c 2f 53 |I>x</I><|SUB>0</S|
|00001500| 55 42 3e 2c 20 3c 49 3e | 79 3c 2f 49 3e 3c 53 55 |UB>, <I>|y</I><SU|
|00001510| 42 3e 30 3c 2f 53 55 42 | 3e 29 20 74 6f 20 74 68 |B>0</SUB|>) to th|
|00001520| 65 20 70 61 72 61 62 6f | 6c 61 20 3c 49 3e 79 3c |e parabo|la <I>y<|
|00001530| 2f 49 3e 20 3d 20 3c 49 | 3e 78 3c 2f 49 3e 3c 53 |/I> = <I|>x</I><S|
|00001540| 55 50 3e 32 3c 2f 53 55 | 50 3e 3f 0a 3c 2f 4c 49 |UP>2</SU|P>?.</LI|
|00001550| 3e 0a 3c 4c 49 3e 49 73 | 20 74 68 65 72 65 20 61 |>.<LI>Is| there a|
|00001560| 6c 77 61 79 73 20 65 78 | 61 63 74 6c 79 20 6f 6e |lways ex|actly on|
|00001570| 65 20 6e 6f 72 6d 61 6c | 20 6c 69 6e 65 20 66 72 |e normal| line fr|
|00001580| 6f 6d 20 61 20 67 65 6e | 65 72 61 6c 20 70 6f 69 |om a gen|eral poi|
|00001590| 6e 74 20 3c 21 2d 2d 20 | 4d 41 54 48 0a 20 24 28 |nt <!-- |MATH. $(|
|000015a0| 78 5f 30 2c 20 79 5f 30 | 29 24 0a 20 2d 2d 3e 0a |x_0, y_0|)$. -->.|
|000015b0| 28 3c 49 3e 78 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 42 3e 30 3c |(<I>x</I|><SUB>0<|
|000015c0| 2f 53 55 42 3e 2c 20 3c | 49 3e 79 3c 2f 49 3e 3c |/SUB>, <|I>y</I><|
|000015d0| 53 55 42 3e 30 3c 2f 53 | 55 42 3e 29 20 74 6f 20 |SUB>0</S|UB>) to |
|000015e0| 74 68 65 20 70 61 72 61 | 62 6f 6c 61 20 3c 49 3e |the para|bola <I>|
|000015f0| 79 3c 2f 49 3e 20 3d 20 | 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e |y</I> = |<I>x</I>|
|00001600| 3c 53 55 50 3e 32 3c 2f | 53 55 50 3e 3f 0a 09 0a |<SUP>2</|SUP>?...|
|00001610| 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 2f | 4f 4c 3e 0a 0a 3c 50 3e |</LI>.</|OL>..<P>|
|00001620| 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c | 4c 49 3e 48 6f 6e 6f 72 |.</LI>.<|LI>Honor|
|00001630| 20 50 72 6f 62 6c 65 6d | 3a 20 20 49 6e 20 66 69 | Problem|:  In fi|
|00001640| 6e 64 69 6e 67 20 74 68 | 65 20 60 60 70 68 79 73 |nding th|e ``phys|
|00001650| 69 63 61 6c 6c 79 20 73 | 65 6e 73 69 62 6c 65 27 |ically s|ensible'|
|00001660| 27 20 73 6f 6c 75 74 69 | 6f 6e 20 74 6f 20 74 68 |' soluti|on to th|
|00001670| 65 20 61 73 74 65 72 6f | 69 64 20 70 72 6f 62 6c |e astero|id probl|
|00001680| 65 6d 20 79 6f 75 20 6d | 61 79 20 68 61 76 65 20 |em you m|ay have |
|00001690| 6e 6f 74 69 63 65 64 20 | 74 68 61 74 20 74 68 65 |noticed |that the|
|000016a0| 72 65 20 61 72 65 20 61 | 20 6c 6f 74 20 28 69 6e |re are a| lot (in|
|000016b0| 66 69 6e 69 74 65 6c 79 | 20 6d 61 6e 79 20 61 63 |finitely| many ac|
|000016c0| 74 75 61 6c 6c 79 29 20 | 6f 66 20 72 6f 6f 74 73 |tually) |of roots|
|000016d0| 20 69 6e 20 74 68 65 20 | 69 6e 74 65 72 76 61 6c | in the |interval|
|000016e0| 20 3c 21 2d 2d 20 4d 41 | 54 48 0a 20 24 5b 30 2c | <!-- MA|TH. $[0,|
|000016f0| 20 73 20 3d 20 31 30 30 | 30 5d 24 0a 20 2d 2d 3e | s = 100|0]$. -->|
|00001700| 0a 5b 30 2c 20 3c 49 3e | 73 3c 2f 49 3e 20 3d 20 |.[0, <I>|s</I> = |
|00001710| 31 30 30 30 5d 2e 20 20 | 46 69 6e 64 20 74 68 65 |1000].  |Find the|
|00001720| 20 6c 61 72 67 65 73 74 | 20 74 77 6f 20 72 6f 6f | largest| two roo|
|00001730| 74 73 20 6c 65 73 73 20 | 74 68 61 6e 20 3c 49 3e |ts less |than <I>|
|00001740| 73 3c 2f 49 3e 20 3d 20 | 31 30 30 30 20 61 6e 64 |s</I> = |1000 and|
|00001750| 20 65 78 70 6c 61 69 6e | 20 74 68 65 69 72 20 73 | explain| their s|
|00001760| 69 67 6e 69 66 69 63 61 | 6e 63 65 2e 20 20 20 46 |ignifica|nce.   F|
|00001770| 75 72 74 68 65 72 20 69 | 6e 76 65 73 74 69 67 61 |urther i|nvestiga|
|00001780| 74 69 6f 6e 73 20 61 6e | 64 20 64 69 73 63 75 73 |tions an|d discus|
|00001790| 73 69 6f 6e 73 20 61 6c | 6f 6e 67 20 74 68 69 73 |sions al|ong this|
|000017a0| 20 6c 69 6e 65 20 61 72 | 65 20 77 65 6c 63 6f 6d | line ar|e welcom|
|000017b0| 65 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a | 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 2f |e...<P>.|</LI>.</|
|000017c0| 4f 4c 3e 0a 3c 48 52 3e | 0a 0a 3c 2f 42 4f 44 59 |OL>.<HR>|..</BODY|
|000017d0| 3e 0a 3c 2f 48 54 4d 4c | 3e 0a                   |>.</HTML|>.      |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+